長野県公立高校対策問題【数学：問３】

【ポイント】
一次関数の利用は、最初にグラフの縦軸と
横軸のひとメモリがいくつなのか考えよう。
横軸は０～50までに５メモリ。
だから、ひとメモリは10分。
縦軸は０～1000までに２メモリ。
だから、ひとメモリは500円。

これは必ず最初に確認しておくこと！

では、問題にとりかかるよ。
グラフを読めば、計算はしなくてもよいです！

通話時間が80分のときの料金をグラフから見つけよう。
矢印をたどっていけばできるよ。

こんな感じ。

80分のときは3500円。

よって
答えは3500円

【ポイント】
直線は通る点を2点見つければ、描ける！
傾きが変わる部分を発見しよう！

基本使用料は契約したら必ず発生する料金。
一切使わなくても払う必要のある料金だよ。

まずプランAから。
プランAは基本使用料が3000円。
通話時間が0分でも3000円。
つまり（0,300）の点を通る。
また、通話時間が200分のときの通話料は
20円×200分＝4000円。
通話料金は基本使用料と通話量の合計。
だから、4000円＋3000円＝7000円。
つまり（200，7000）の点を通る。
この2点をぐりぐりして直線でつなげばもう完成！

次にプランC。
プランCは基本使用料は3000円。
無料通話が50分含まれているから50分までは3000円。
つまり（0，3000）と（50，3000）を通る。
ここで、この２点から直線が描ける。
通話時間が50分以上だと通話料金を払う必要がある。
だから、料金の求め方が変わるよ。
200分だと通話料が発生する時間は
200分－50分＝150分。
だから、30円×150分＝4500円。
そこに基本使用料が入るから
4500円＋3000円＝7500円。
つまり（200，7500）を通る。
この２点をぐりぐりして直線でつなげばもう完成！

グラフを描くときに、すべての点を取る必要はないよ。
それやってると時間もかかっちゃうしね。
通る点を２点だけ求めるだけでOK！
問題もエコで解いていきましょう。

【ポイント】
グラフが描ければ、わかることはたくさんある！

前の問題で描いたグラフに【通話時間が130分】のところに線を入れてみよう。

するとｙが小さいところ（青●の部分）が
一番安いってわかるよ。
なので、プランＣが一番安いって判断できる。
これって計算はなんにもしてないよね。
ただ、グラフ見てるだけ。

これを答えにすべくまとめると
プランCが一番安い。
ｘが130のときのｙの値をグラフから比べる。
となるよ。

【ポイント】
これもグラフから考えることができるよ。
関数の利用の問題はグラフでとける問題がたくさんあるよ。
しっかりグラフをかけるようにしておこう！

はい、じゃグラフを見てみよう。

プランBが一番安いのはプランCと交わるところまで。
つまり100分までは、プランBがほかのどのプランよりも安いって判断できる。

つまり㋐の答えは100になる。

次は、200分の場合を考える。
これもグラフからプランAが一番安いって判断ができる。

よって㋑の答えはAになる。

【ポイント】
グラフから絞り込む。
そして、細かい数字は計算で求める！
これは、関数の利用問題のお約束！

まず、問題にはプランBを変更するって書いてあるからプランBは必要だよね。
また、(4)から比較するのはプランAだってことになる。
なので、グラフをプランAとプランBだけにして見やすくしてみよう。

こうしてみると赤の矢印で示した部分が通話時間が190分のときのプランAとプランBの差額だってわかる。
グラフからは、通話時間が190分だとプランBは9000円って読み取れるけど、プランAは6800円くらいかな…。
ただ、数学で〇〇くらいで答えを出すのはよくない。
だから、ここは時間はかかるけど計算しよう！
さっき、見当をつけたものと計算の答えがほぼ一致してくればOK！

答えは２２００円安くなる。

今回はグラフの見た目からの見立てと実際の計算結果が同じだったね。
ただ、こうなることはほとんどない。
つまり、しっかり式を出して計算できるようにしておこう。

ここに一次関数の式の式の求め方を簡単にまとめてあります。
これが分かっていれば、ほぼ問題は解けるはず！
だからグラフと関数の式の出し方は確実にできるようにしておくこと！

【ポイント】
線分の長さってコトバには三平方の定理で対応！

【三平方の定理とは？】
直角三角形の斜辺と他の２辺の長さの間の関係のこと。
他の２辺の2乗(平方)の和は斜辺の2乗(平方)に等しい。
三（つの辺を）平方（したとき）の定理ってことだと思う…。

関係式は図を見てみてね。

斜めの線分の長さを求めるには、その辺を斜辺にした直角三角形を自分で作ってみよう！

この問題だと、線分ABを斜辺とした直角三角形ABCを作ってみるとこんな感じ。

ここで、線分ACと線分BCの長さがわかれば、線分ABの長さがわかるってわけ。

点A・点B・点Cそれぞれの座標から線分の長さが出せる。
つまり座標を求めないといけないね。

まずは、点Aから。
点Aは \(y=\frac{1}{2}x^2\) 上にあるので
\(x=3\)を代入して\[y=\frac{1}{2}×3^2\]
\[y=\dfrac{1}{2}×9\]
\[y=\dfrac{9}{2}\]
よって、\(A(-3,\dfrac{9}{2})\)

次は、点B。
点Bも \(y=\frac{1}{2}x^2\) 上にあるので
\(x=4\)を代入して\[y=\frac{1}{2}×4^2\]
\[y=\dfrac{1}{2}×16\]
\[y=8\]
よって、\(B(4,8)\)
Bはグラフから読み取ってもOK！

最後に点C。
点Cは\(x\)座標が点Ｂと同じで\(y\)座標が点Ｃと同じだから
よって、\(C(4,\dfrac{9}{2})\)

いま出した座標の情報を書きこみました。

直線ACはみどりの長さのたし算なので、\(7ｃｍ\)。
直線BCは青の長さのひき算なので、\(8-\dfrac{9}{2}=\dfrac{7}{2}ｃｍ\)。

はい。ではここから三平方の定理の出番。
\(AC^2+BC^2=AB^2\)なので、\[7^2+(\dfrac{7}{2})^2=AB^2\]
見やすくして\[AB^2=7^2+(\dfrac{7}{2})^2\]
あとは計算！\[AB^2=49+\dfrac{49}{4}=\dfrac{245}{4}\]
\[AB=±\sqrt{\dfrac{245}{4}}\]
\[AB=±\dfrac{\sqrt{245}}{\sqrt{4}}\]
\(245=5×7^2、4=2^2\)だから\[AB=±\dfrac{7\sqrt{5}}{2}\]
線分ABはマイナスになることがないので\[AB=\dfrac{7\sqrt{5}}{2}cm\]

【ポイント】
関数の図形問題の三角形は２つに分けて考える！
多くの場合はy軸で２つに分けるといいよ！

まずは直線lとy軸との交点をDとする。
Dの座標は(0,6)。←切片だから
すると
△OABは△AODと△BODに分けられる。
これで両方の三角形の底辺(OD)と高さが分かる状況になるよ。
（点線の部分がそれぞれの高さです）

△AOD=\(\dfrac{1}{2}×6×3=9㎠\)
△BOD=\(\dfrac{1}{2}×6×4=12㎠\)

△OAB＝△AOD＋△BODだから\[△OAB＝9+12=21\]

よって、答えは２１㎠。

【ポイント】
三角形の面積を２等分するとき、どこか一つの頂点を通るならその対辺の中点を通れば面積は２等分される！

線分の中点の座標の求め方はこれですべてできる。

よく公式みたいになってる。
こんな感じ。

線分ABで点A\((x\tiny{1}\),\(y\tiny{1}\))と点B\((x\tiny{2}\),\(y\tiny{2}\))の中点の座標M

\[M(\dfrac{x\tiny{1}+x\tiny{2}}{2},\dfrac{y\tiny{1}+y\tiny{2}}{2})\]
で求められるよ。

図で表すと面積を2等分する赤色の直線が描ける。

まずは中点を通らないと２等分にならないので、中点の座標を出そう。
これはさっきの知識を使ってみよう。

座標は図に入ってるから\[M(\dfrac{(-3)+4}{2},\dfrac{\frac{9}{2}+8}{2})\]だね。

\(x\)座標はそのままでいけそう。
ただ、\(y\)座標は見たことないかたち…
これを分数ではなくすると\[M(\dfrac{(-3)+4}{2},(\frac{9}{2}+8)÷2)\]
あとは計算！\[M(\dfrac{1}{2},\dfrac{25}{4})\]
これで中点の座標はOK。
あとは直線の式だけど候補は２つ。
\[y=ax もしくは y=ax+b\]
よく見ると原点を通ってるから比例。
つまり式は\(y=ax\)に決定！
ここに中点Mの座標を入れると\(a\)が求められる。
また、計算！\[\dfrac{25}{4}=a×\dfrac{1}{2}\]
見やすくして\[\dfrac{1}{2}a=\dfrac{25}{4}\]
分数やだから両辺を2倍\[\dfrac{1}{2}a×2=\dfrac{25}{4}×2\]
\[a=\dfrac{25}{2}\]
だから直線の式は\[y=\dfrac{25}{2}x\]

【ポイント】
動点の問題は座標が分からないのでｘ座標をtとおいて計算していく。
文字を文字で置くから違和感あるけどこれでOK！

Qのy座標からPのy座標をひいたもの
(Q-P）→PQの長さ
これが３㎝になるので、Q-P＝PQ＝3

\(x\)を\(t\)にする。
Pの座標は\((t,\dfrac{1}{2}t^2)\)
Qの座標は\((t,\dfrac{1}{2}t+6)\)になる。

Q-P＝3なので、
\[\dfrac{1}{2}t+6-\dfrac{1}{2}t^2=3\]
見やすくして \[-\dfrac{1}{2}t^2+\dfrac{1}{2}t+6=3\]
マイナスをかけて
\[\dfrac{1}{2}t^2-\dfrac{1}{2}t-6=-3\]
２倍して \[t^2-t-12=-6\]
整理して \[t^2-t-6=0\]
因数分解して\[(t-3)(t+2)=0\]
\[t=3,-2\]
Pの\(x\)座標を\(t\)としたので、PQが３㎝になるのは\(x\)が-2と3のとき。
Pの座標は\((t,\dfrac{1}{2}t^2)\)と表されるので

\(x=-2\)のとき、\[(-2,2)\]
\(x=3\)のとき、\[(3,-\dfrac{9}{2})\]
よって点Pの座標は\((-2,2)、(3,-\dfrac{9}{2})\)
最後に、点Pがちゃんと点Ａと点Ｂの間に入っていることを確認しよう！