【川中島校】2学期期末テスト予想問題：中２数学
【問題】下の図１のように、直方体の水槽の中に直方体の鉄が置いてある。この水槽に毎分2ℓ(2ℓ=2000㎤）の割合で水を入れる。図２は、水を入れ始めてからｘ分後の、水槽の底から水面までの高さをｙ㎝として、ｘとｙの関係を表したグラフである。次の問いに答えなさい
（1）直方体の鉄の高さは何ｃｍですか。
はい。水そうの問題。
そもそも水道から水が1分間にどのくらい出てるのかなんて気にすることないよね。
1分間に2ℓとかどのくらいだろうね？
はい。水そうの問題。
そもそも水道から水が1分間にどのくらい出てるのかなんて気にすることないよね。
1分間に2ℓとかどのくらいだろうね？
あやきさん、知ってる？
えっ？そんなの知らないよ…
ちょっと調べてみるね。
蛇口を少し開けた状態で、ゆっくりと手を洗うのにちょうどいいくらいの水量。
通常、家庭用の蛇口は1分間に10～12ℓほどの水量らしい。
へー。ちょっと勉強になるね！
ありがとう。
先生も今知りました。
どうでもいいようなことだけど、気になって調べれば少しずつ知識も増えていくよ。
調べようって思うことってとても大事だね！
では、問題に進もう。
水槽の中に鉄の塊が入ってるのってどういうときかな？
さあ、あやきさん！
知らないし。そんな場面に出くわしたことないよ…。
えっと
水族館や理科の実験ですることがあるって！
理科だと密度を調べるときに、メスシリンダーの中に金属を入れたりしたわ。
意外と気付かなかったけど、実際見てるね。
そう！
実際の場面を思い浮かべてみよう。
例えば、お風呂に自分がつかっているときって、お湯入れていたら、お湯の増え方ってどう感じる？
速く感じる！
つまり
同じ量のお湯を出していても、水面がすぐに上がってくるってことだよね。
じゃあ、この鉄のかたまりでも同じことが言えるってことだね。
そう。いいところに気付けたね！
鉄のあるところは水面の上がり方が速いってことなんだ。
そこに目がつけられたらもう答えでちゃうよ。
あやきさん、どうかな？
はい。
水面の高さを表しているのは図2だから、速く水面が上がってるのが、鉄のあるところだね。
えっと、高さが12cmのところでグラフが変化している！
つまり、鉄は12cmの高さしかないってこと。
★答えは直方体の鉄の高さは12cmになるよ。
OK！すばらしい！
あまり難しく考えずに、解いていくことがポイントかな。
図で表すとこんな感じ。
うまく想像してみよう！
（2）鉄も水も入っていない状態でのこの水槽の底面積を求め、中に置いてある鉄の体積を求めなさい。
まずは、底面積を求める問題だね。
あやきさん、底面積って聞いて真っ先になにが思い浮かぶ？
底面積？
うーん。立体やったときに使ったような…。
確か、体積が底面積×高さってような式があったかな。
あ、いまちょうど直方体が問題にあるじゃん！
これ使えるんじゃない？
おっ！いい感じだね。
体積＝底面積×高さをどうにか使いたい！
体積と高さが出せれば底面積も出るね。
底でなくても上の面でも面積は変わらないからね。
ヒントはこれ！
あっ！
グラフで確認してみればわかるかも。
青い部分が青い直方体の部分だね。
青い部分が水でいっぱいになるのに、水を入れ始めてから6分後から16分後までの時間がかかるみたい。
そうすると水を入れたのは10分間。
問題から水は1分間で2000㎤はいる。
だから、10分間では、2000㎤×10分＝20000㎤。
つまり、体積は20000㎤だってわかる！
めっちゃいい感じ！
あとは高さが分かればいいわけですよ。
青い直方体の高さもグラフから分かるよ。
しっかり確認してみるといいね！
おおー！
グラフ？縦軸が水面の高さだから図に表すとこんな感じ？
黒い部分がグラフから分かって、そこから赤い部分が分かるね。
だから高さは10cmだよ。
うん！いいね。
もう一息で解けるね。
これを体積の式に数字として入れてみる。
さらに、分からない底面積を中学生っぽく文字でaとおいてみよう！
あやきさん、だいぶ先が見えてきたよ。
はいはーい！
体積＝底面積×高さなので、体積を20000、底面積をa、高さを10にかえるよ。\(20000=a×10\)
文字式の決まりに従って
\(20000=10a\)
見にくいから右と左を入れ替えて
\(10a=20000\)
後は解くと
\(a=2000\)
★だから、水槽の底面積は2000㎠っていう答えだよ。
グッジョブ！
底面積は2000㎠って分かったから今度は鉄の体積だね。
考え方は似てるかな。
今度は赤色の部分の体積を考えてみよう！
さっきのやつを使うと…。
底面積が2000㎤で高さが12cmだから体積は
2000×12＝24000
体積は、24000㎤だね。
で、水を6分入れると水面は12cmになるってグラフから読めるから
問題から水は1分間で2000㎤はいるから6分間では、2000㎤×6分＝12000㎤。
つまり、体積の24000㎤のうち12000㎤が水だってわかる！
だから、鉄の体積は24000-12000＝12000。
★よって鉄の直方体の体積は12000㎤だよ！
Amazing！すばらしい‼
水槽の問題のポイントは、
- 水面の高さ（cm）と体積や容積（㎤）をごっちゃにしないこと。
基本的には体積を求めるために高さを使わせる問題が多いからね。
体積を基準として考えていこう！ - グラフの変化する点に着目！
水の入る速さが変わったり、何らかの変化があるからね。 - 体積などの図形の基本的な知識は復習しておこう！
- 速さの知識も必要になるからね！
けっこう理解しにくいから、今自分が何をしているのか？を考えることがとても大切。
これは一次関数の利用については全部そうかな。
分からなくなったら、ITTOに相談しよう！
いつでも待ってるからね！