中学校3年生数学 相似 線分比の問題
問題
下の図で四角形ABCDは、AD//BCの台形である。
辺AB上に点Eを取り。点Eを通って辺BCに平行な直線と辺CDとの交点をFとする。
AD＝3、EF＝8、BC＝11、EB＝6のとき、SEの長さを求めよ。
まずはじめに、相似となる図形ができるように、図の中に補助線を引き、相似となる図形を作ってみましょう。
Dを通る辺ABと平行になる補助線を引いて、辺EF、辺BCとの交点をそれぞれG、Hとすると、三角形DHGができて相似の図形が出来そうです。
OKです。それでは、△DGFと△DHCが相似になることを簡単に説明します。
GF//HCより、同位角はそれぞれ等しいので、
∠DGF＝∠DHC･･･（1）
∠DFG＝∠DCH･･･（2）
（1）、（2）より相似条件「2組の角がそれぞれ等しい」が成り立つので△DGF∽△DHCが証明できます。
それでは、その相似な図形から、DG、GH、GF、HCの長さの求め方を考えてみましょう。ヒントは、四角形ABHDは平行四辺形になります。
平行四辺形の向かい合う辺はそれぞれ等しいから、AD＝BHとなるので、AD＝BH＝3まではわかりましたが･･･。
そうすると四角形AEGDも平行四辺形となるので、AD＝EGとなるので、EG＝3も同様に言えます。
そうか！
EG＝3よりGF＝EFーEG＝8－3＝5
BH＝3よりHC＝BCーBH＝11ー3＝8、です。
EG＝3よりGF＝EFーEG＝8－3＝5
BH＝3よりHC＝BCーBH＝11ー3＝8、です。
その通り！
それでは、AEをxとして残りの長さを考えてみましょう。
それでは、AEをxとして残りの長さを考えてみましょう。
四角形AEGDが平行四辺形だからAE＝DG＝x、
四角形EBHGも平行四辺形だからEB＝GH＝6までは、わかりました。
四角形EBHGも平行四辺形だからEB＝GH＝6までは、わかりました。
よくできました。
それでは、先ほど証明した△DGFち△DHCの相似比を使って考えてみましょう。
相似の比例式は以下のように対応する辺から作りましょう。
それでは、先ほど証明した△DGFち△DHCの相似比を使って考えてみましょう。
相似の比例式は以下のように対応する辺から作りましょう。
対応する辺の比を考えると辺DH：辺DG＝辺HC：辺GFとなるので、
（x＋6）：x＝8：5
8x＝5（x＋6）
8x＝5x＋30
3x＝30
x＝10
DG＝AEより 求めたい辺AEの長さは10です。
（x＋6）：x＝8：5
8x＝5（x＋6）
8x＝5x＋30
3x＝30
x＝10
DG＝AEより 求めたい辺AEの長さは10です。
完璧！よく出来ました！
解く際のポイントは、Dを通り、辺ABと平行になる補助線を引いて、相似になる三角形を作って考えてみることです。
解く際のポイントは、Dを通り、辺ABと平行になる補助線を引いて、相似になる三角形を作って考えてみることです。
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